Un proyecto de investigación ha formalizado con éxito una prueba en Lean 4 —un lenguaje de programación funcional y demostrador de teoremas interactivo— demostrando que la multiplicación de enteros puede realizarse en un tiempo de peor caso de O(n (log n)^(1-κ)). En este contexto, 'n' representa la longitud total de la entrada codificada y 'κ' (kappa) representa el ahorro del exponente sobre la complejidad estándar de O(n log n). El proyecto, alojado en GitHub como `integer-mult-bounds-lean`, proporciona una verificación formal de una máquina de Turing de múltiples cintas fija que multiplica cada par de números naturales utilizando codificaciones binarias estándar.

La construcción específica logra un valor de kappa de aproximadamente 0.0000468908 (o 2^-14.38). Este resultado es significativo porque representa una mejora medible sobre los límites históricos anteriores. El mecanismo involucra una arquitectura compleja de 'capas sintéticas redondeadas' y 'controles compactos' en un nodo T16. La prueba incluye todo el flujo de la operación, desde la preparación y distribución de la entrada hasta las transformaciones finales, la salida y la limpieza. Al utilizar Lean 4, los investigadores aseguran que la prueba sea matemáticamente sólida y que las funciones de transición de la máquina —que solo ven el estado finito y los símbolos escaneados— se adhieran estrictamente a la semántica definida.

Si bien el valor actual de kappa es un hito, el proyecto se dirige hacia un objetivo a largo plazo de un kappa incondicional de 0.0023. Esto implicaría la integración de un compilador 'Design-B' y un compilador finito de mixto a uniforme. Actualmente, el compilador 'Design-B' está en progreso y se proyecta que ofrezca un ahorro de aproximadamente 0.0000600, que es un 28% más alto que el resultado actual. El proyecto también mantiene un objetivo de 'máquina nativa', que es una máquina determinista con un alfabeto fijo y cintas unidimensionales, aunque su ahorro de exponente actual es menor que el resultado activo de Mathlib que se persigue para la ruta de mejora principal.