1の冪根の研究は、最も単純なケースである1の平方根を見つけることから始まります。実数の範囲では1と-1しか得られませんが、領域を複素数に拡張すると、より広範な解のセットが現れます。1の冪根とは、正の整数n乗をしたときに1になる任意の複素数と定義されます。特定のnに対して、これらの冪根は z^n = 1 を満たす複素数zです。例えば、3の冪根（n=3）には1が含まれますが、それ以外にも2つの複素数、(-1 + i√3)/2 と (-1 - i√3)/2 が含まれます。これらの値は極座標を用いて体系的に計算することができ、大きさ1の複素数は z = e^(iθ) と表されます。z^nを1と等置することで、冪根は k = 0, 1, ..., n-1 に対して z_k = e^(i2πk/n) と求められます。
幾何学的には、これらの冪根は複素平面上の単位円上に等間隔に配置されます。これらの点を隣接する点と結ぶと、正多角形を形成します。この対称性は、冪根が 2π/n という等しい中心角で隔てられていることの直接的な結果です。さらに、nの冪根の集合（μ_nと表記）は、乗法においてアーベル巡回群を形成します。これは、この集合が乗法について閉じていること、単位元（1）を含んでいること、そしてすべての要素に逆元が存在することを意味します。この群において「生成元」とは、整数の累乗を通じて他のすべての冪根を生成できる冪根のことです。最初の冪根（w = e^(i2π/n)）は常に生成元ですが、kとnが互いに素であれば、他の冪根 w^k もまた生成元となります。
幾何学や群論を超えて、1の冪根の累乗は重要な代数的性質を持っています。すべてのnの冪根の和は（n > 1の場合）ゼロになります。これは等比数列の公式を用いて証明することも、あるいは単位円上の冪根の配置によってそれらのベクトル成分が互いに打ち消し合うことを観察することによっても証明できます。より重要なことに、これらの冪根は複素ベクトル空間 C^n の直交基底を形成します。各行が冪根の累乗を表すように行列を構成すると、得られる「フーリエ行列」の各行は互いに直交します。この性質は現代の工学および数学の礎石であり、信号処理やデータ分析に不可欠な離散フーリエ変換（DFT）の基礎となるメカニズムを提供しています。