量子力学の核心にあるのは、視点の転換です。物体が物理空間のどこにあるかを記述するのではなく、この理論は物体が将来どのような状態になり得るかというすべての可能性を予測します。これらの可能性を追跡するために、物理学者はヒルベルト空間として知られる抽象的な数学的領域を使用します。この舞台では、電子のような量子オブジェクトの状態は、ベクトル、すなわち矢印として表現されます。この矢印は物理的な座標を指しているのではなく、代わりに「可能性の空間」内の方向を指しています。このベクトルがヒルベルト空間内の特定の軸に密接に一致するほど、その特定の結果が観察される可能性が高くなります。
この画像は、物理空間から、状態の内部表現がモデル化される「可能性の空間」への転換を説明しています。
この枠組みは、1920年代にジョン・フォン・ノイマンによって、ヴェルナー・ハイゼンベルクの「行列力学」とエルヴィン・シュレディンガーの「波動力学」という、一見矛盾する2つの理論を統合するために定式化されました。フォン・ノイマンは、どちらのアプローチも、同じ基礎となる実体である「量子状態」に対する異なる数学的視点であることを示しました。例えば、「重ね合わせ」状態にある量子オブジェクトは、複数の可能な状態の混合として同時に存在します。ヒルベルト空間では、これは異なる軸の間の中心領域を指すベクトルとして視覚化されます。測定が行われると、ベクトルは瞬時かつランダムにそれらの軸のいずれかの一つに一致するように「スナップ」し、重ね合わせを単一の確定した状態へと崩壊させます。ヒルベルト空間の大きさはオブジェクトの複雑さに依存します。「量子ビット」（量子コンピューティングの基本単位）は2次元の空間を占有しますが、自由に浮遊する粒子には無限の次元を持つ空間が必要です。
ヒルベルト空間は計算のための強力なツールですが、その存在論的な地位については物理学者の間で議論の対象となっています。ショーン・キャロルのような一部の学者は、量子力学が自然の根本的な理論であるならば、ヒルベルト空間は現実の根本的な舞台でなければならないと主張します。一方で、ジョナサン・ソーセのような他の人々は、それをすべての量子システムを完璧に記述するわけではないかもしれないが、非常に有用な数学的構成としてより実用的に捉えています。フォン・ノイマン自身でさえ、最終的にはこの空間の究極的な十分性について懐疑的な見解を表明し、後に論理的な不整合に対処するために「フォン・ノイマン代数」を探索しました。これらの微妙な差異にもかかわらず、ヒルベルト空間は宇宙が最も根本的なレベルでどのように振る舞うかを理解するための主要な舞台であり、確率がどのように符号化され、量子状態が時間の経過とともにどのように進化するかについての規則を提供しています。