量子力学的核心在于视角上的转变：该理论不再描述物体在物理空间中的位置，而是预测物体在未来可能出现的各种方式。为了追踪这些可能性，物理学家使用一个被称为希尔伯特空间（Hilbert space）的抽象数学领域。在这个竞技场中，量子物体（如电子）的状态被表示为一个向量，或说是一个箭头。这个箭头并不指向物理坐标；相反，它指向“可能性空间”中的一个方向。这个向量与希尔伯特空间中特定轴线的对齐程度越高，观察到该特定结果的可能性就越大。
该图像说明了从物理空间到“可能性空间”的转变，其中状态的内部表示被建模。
这一框架由 John von Neumann 在 1920 年代正式建立，旨在统一两种看似矛盾的理论：Werner Heisenberg 的“矩阵力学”和 Erwin Schrödinger 的“波动力学”。Von Neumann 证明了这两种方法都是对同一个底层实体——量子态——的不同数学视角。例如，处于“叠加态”的量子物体同时存在于多种可能状态的混合中。在希尔伯特空间中，这被可视化为指向不同轴线之间中心区域的向量。当测量发生时，向量会瞬间且随机地“跳变”到其中一个轴线上，使叠加态坍缩为单一的、确定的状态。希尔伯特空间的大小取决于物体的复杂程度；一个“量子比特”（量子计算的基本单位）占据二维空间，而一个自由漂浮的粒子则需要具有无限维度的空间。
虽然希尔伯特空间是强大的计算工具，但其本体论地位仍是物理学家争论的焦点。一些人，如 Sean Carroll，认为如果量子力学是自然的根本理论，那么希尔伯特空间就必须是现实的根本剧场。另一些人，如 Jonathan Sorce，则更务实地将其视为一种高度实用的数学构建，它可能无法完美描述每一个量子系统。甚至 Von Neumann 本人最终也对该空间的最终充分性表示怀疑，后来探索了“冯·诺依曼代数”来解决逻辑上的不一致。尽管存在这些细微差别，希尔伯特空间仍然是理解宇宙在最基础层面上如何运作的主要竞技场，它提供了概率如何编码以及量子态如何随时间演变的规则。